Hubungan Antara Titik, Garis, dan Bidang

Bagian pembentuk bangun ruang adalah titik, garis dan bidang. Ketiga bagian ini disebut unsur-unsur ruang. Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak memiliki definisi (undefined terms), antara lain, titik, garis, dan bidang. Meskipun ketiga istilah tersebut tidak secara formal didefinisikan, sangat penting disepakati tentang arti istilah tersebut.

Sebuah titik hanya dapat ditentukan letaknya, tetapi tidak mempunyai panjang dan lebar (tidak mempunyai ukuran/besaran). Titik dapat digambarkan dengan memakai tanda noktah. Sebuah titik dinotasikan atau diberi nama dengan huruf kapital, misalkan titik A, titik B, titik C, dan sebagainya.

Adapun garis direpresentasikan oleh suatu garis lurus dengan dua tanda panah di setiap ujungnya yang mengindikasikan bahwa garis tersebut panjangnya tak terbatas. Sebuah garis dapat dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan garis k, garis l, garis m, garis n, dan sebagainya. Bidang datar merupakan suatu daerah yang panjang dan lebarnya tak terbatas.

A. Hubungan Antara Titik, Garis, dan Bidang
1. Hubungan Titik dan Garis
Hubungan antara titik dan garis dapat terjadi dalam dua kondisi. Pertama, titik terletak pada garis dan kedua, titik terletak di luar garis. Titik disebut terletak pada garis apabila titik tersebut ada pada garis, atau titik tersebut menjadi bagian dari garis.

2. Hubungan Antara Titik dan Bidang
Keadaan di atas berlaku pula untuk hubungan titik dengan bidang. Titik terletak pada bidang atau titik tersebut menjadi bagian bidang.

3. Hubungan Antara Garis dan Bidang
Hubungan antara garis dan bidang dapat diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu garis terletak pada bidang, garis tidak pada bidang, dan garis memotong/menembus bidang.

Garis Terletak Pada Bidang
Garis terletak pada bidang apabila garis menjadi bagian dari bidang. Letak garis l pada bidang (gambar i) membagi titik-titik pada bidang menjadi dua bagian bidang. Garis terletak pada bidang apabila garis menjadi bagian dari bidang. Letak garis l pada bidang (gambar i) membagi titik-titik pada bidang menjadi dua bagian bidang.

Garis Menembus atau Memotong Bidang
Sebuah garis dikatakan menembus (memotong) bidang, jika garis dan bidang itu hanya memiliki satu titik tembus (titik potong).

4. Titik-titik segaris
Dua titik atau lebih dikatakan segaris jika titik-titik tersebut terletak pada garis yang sama. Sedangkan istilah titik-titik segaris bisa disebut kolinear.

5. Titik-titik sebidang
Dua titik atau lebih dikatakan sebidang jika titik-titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Titik C dan titik D dikatakan sebidang, karena sama-sama terletak pada bidang β. Sedangkan istilah titik-titik sebidang bisa disebut koplanar

Terdapat tiga pemahaman yang berkaitan dengan garis, segmen garis (ruas garis), dan sinar garis (sinar). Ruas Garis adalah sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik ujung yang berbeda, dan memuat semua titik pada garis di antara ujung-ujungnya. Contoh ruas garis misalnya sisi segitiga atau sisi persegi. Ketika titik-titik ujung terletak pada sebuah kurva, misalnya lingkaran, maka ruas garis itu disebut tali busur (kurva tersebut).

Sinar Garis adalah sebuah garis yang memiliki satu titik ujung dan ujung yang lain membentang tak terbatas. Secara geometri, ketiga pemahaman tersebut kita deskripsikan sebagai berikut.

1. Garis yang melalui titik A dan B disebut garis AB, dinotasikan. Tanda panah pada kedua ujung artinya dapat diperpanjang sampai tak terbatas.
2. Ruas garis (segmen) AB, disimbolkan, dengan titik A dan B merupakan titik ujung ruas garis AB.merupakan bagian dari .
3. Sinar garis AB, disimbolkan, memiliki titik pangkal A, tetapi tidak memiliki titik ujung. Sinar garis.merupakan bagian dari garis .
4. Jika titik C terdapat di antara titik A dan B, makadan merupakan dua sinar yang berlawanan

B. Kedudukan Dua Garis
Kedudukan dua garis baik dua garis sejajar, dua garis saling berpotongan, dua garis saling berhimpit
pada bidang. Materi ini akan bermanfaat dalam mempelajari materi segi empat dan segitiga pada bab selanjutnya.

1. Garis a dan b merupakan dua garis yang tidak sejajar dan berpotongan.
2. Garis c dan d merupakan dua garis yang tidak sejajar dan berpotongan
3. Garis e dan f merupakan dua garis yang sejajar
4. Garis g dan h merupakan dua garis yang sejajar
5. Garis i dan j merupakan dua garis yang berhimpit 
6. Garis k dan l merupakan dua garis yang berhimpit 
7. Garis m dan n merupakan dua garis yang berpotongan Garis m dan n merupakan dua garis yang berpotongan
8. Garis o dan p merupakan dua garis yang berpotongan
9. Garis q dan r merupakan dua garis yang berpotongan tegak lurus

Ayo Kita Menalar
Setelah kalian mendapatkan informasi di atas, coba terapkan pada pertanyaan berikut:

1. Jika dua garis berpotongan menghasilkan satu titik, maka apakah yang dihasilkan dua garis saling berhimpit? Jika yang dihasilkan adalah titik, berapa titik yang dihasilkan?  Jika ada dua garis yang saling berhimpit, maka titik yang dihasilkan banyak sekali atau titik-titiknya tak terbatas
2. Menurut kalian, dapatkah sebuah garis merupakan hasil dari suatu perpotongan? Hasil suatu perpotongan apakah itu? Coba jelaskan. Iya, dapat terbentuk sebuah garis yaitu perpotongan antar dua bidang.
3. Jika dua garis berpotongan menghasilkan maksimal satu titik potong, maka berapa titik potong maksimal yang dihasilkan oleh 5 garis yang saling berpotongan? Jelaskan.

Dan seterusnya didapat pola sebagai berikut
2 ⇒ 1
3 ⇒ 3
4 ⇒ 6
5 ⇒ 10
6 ⇒ 15

n ⇒	1	(n) - (n -1)
	2

Jadi, banyak titik maksimal yang dihasilkan oleh 5 garis yang berpotongan adalah sebanyak 10 titik potong.

Ayo Kita Berlatih
1. Bagaimana keberadaan titik dengan garis, titik dengan bidang, dan garis dengan bidang? Jelaskan.

• Hubungan antara titik dan garis dapat terjadi dalam dua kondisi. Pertama, titik terletak pada garis dan kedua, titik terletak di luar garis.
• Hubungan antara titik dan bidang antara lain titik terletak pada bidang atau titik tersebut menjadi bagian bidang.
• Hubungan antara garis dan bidang dapat diklasifikasikan menjadi tiga, yaitu garis terletak pada bidang, garis tidak pada bidang, dan garis memotong/menembus bidang.

2. Sebuah garis dan bidang tidak terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan, maka irisan keduanya menghasilkan himpunan kosong

3. Terdapat dua bidang saling berpotongan dan tidak berhimpitan, maka perpotongannya berbentuk,

Dua bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang tersebut mempunyai sebuah garis persekutuan

4. Perhatikan gambar berikut

• Diketahui Gambar (a) adalah garis AB. Jelaskan apakah titk C terletak pada garis AB?Iya, karena titk C merupakan bagian dari garis AB.
• Diketahui Gambar (b) adalah segmen garis PQ. Jelaskan apakah titk R terletak pada segmen garis PQ? Jelaskan juga apakah titk S terletak pada segmen garis PQ? Titik R tidak terletak pada garis AB, karena titk R tidak berada dibagian garis PQ. Sedangkan titik S terletak pada garis PQ karena karena titk S merupakan bagian dari garis PQ.
• Diketahui Gambar (c) adalah sinar garis KL. Jelaskan apakah titk M dan P terletak pada sinar garis KL? Jelaskan juga apakah titk N dan O terletak pada sinar garis KL?  Titik M tidak terletak pada sinar garis KL, karena titk R tidak berada dibagian sinar garis KL. Sedangkan titik N dan O terletak pada sinar garis KL karena karena kedua titk tersebut merupakan bagian dari sinar garis KL. Khusus untuk titik P tetap dikatakan terletak pada sinar garis KL, KL merupakan sinar garis yang artinya sinar garis KL masih berlanjut sampai takhingga.

5. Bagaimana menurut pendapat kalian apakah boleh kita mengatakan

• Garis adalah kumpulan titik-titik ? Sebuah garis pada dasarnya hanyalah kumpulan dari titik titik. Kalian bisa mendapatkan garis dengan menggambar titik titik sedemikian sehingga saling berdekatan dan akhirnya menghasilkan sebuah garis.
• Bidang adalah kumpulan titik-titik ? Benar. Bidang adalah kumpulan garis-garis dimana garis merupakan kumpulan titik.
• Bidang adalah kumpulan garis-garis ? Bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis.
• Ruang adalah kumpulan garis-garis ? Benar. Kumpulan bidang-bidang menjadi ruang dimana bidang adalah kumpulan garis-garis dan garis adalah kumpulan titik-titik.

6. Pernyataan yang salah dari pendapat berikut adalah . . .

• Dua garis sejajar tidak mempunyai titik potong (benar)
• Garis l sejajar bidang α apabila garis-garis yang terletak pada bidang α tidak berpotongan dengan garis l
• Garis l tegak lurus bidang α apabila garis l tegak lurus garis-garis yang terletak pada bidang α

7. Perhatikan gambar berikut

Banyak ruas garis berbeda dari gambar di atas adalah 3

8. Perhatikan gambar berikut

Sebutkan Pasangan garis mana sajakah yang saling sejajar, berpotongan, atau bersilangan?
a. Garis-garis sejajar; garis xy dengan wz
b. Garis-garis berpotongan; garis mv dengan xy dan wz, garis nv dengan xy dan wz, garis mv dengan nv

9. Gambarlah limas segiempat ABCD.T

• Sebutkan semua ruas garis yang saling sejajar. AB dan CD, AD dan BC.
• Sebutkan semua ruas garis yang saling berpotongan TB dan AB, TC dan BC, TD dan CD, TA dan DA
• Adakah dua garis yang saling tegak lurus? Jelaskan. Tidak ada
• Adakah dua garis yang saling bersilangan? Jelaskan. Tidak ada

10. Perhatikan gambar berikut

• Sebutkanlah garis-garis yang sejajar .Garis yang saling sejajar; garis p dengan m dan garis s dengan q
• Sebutkanlah garis-garis yang perpotongan. Garis yang saling berpotongan; garis p dengan s, r dan q, garis n dengan m, q, r, s dan p, garis m dengan m, q, r, dan s

11. Perhatikan gambar berikut

Tulislah semua pasangan garis yang saling sejajar. AB dan DE, AD dan BE, BE dan CF, CF dan AD.

12. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut.

Gambar segitiga ABC di atas terdiri dari 4 buah segitiga yang sama dan sebangun. Tentukanlah ruas garis yang sejajar dengan:

• AB sejajar DF
• DF sejajar dengan ruas garis AE, EB, atau AB
• DE sejajar dengan ruas garis CF, FB dan BC

13. Perhatikan balok ABCD.EFGH berikut

Diketahui titik P berada di tengah-tengah AB , titik Q di tengah-tengah BC , dan titik R di tengah-tengah PQ. Hubungkan titik H dengan titik R. Jika HR diperpanjang, maka apakah akan memotong perpanjangan FB ? Jelaskan dan tunjukkan.

14. Perhatikan gambar limas segiempat ABCD.T berikut.

Tentukanlah:

• pasangan garis yang sejajar. Saling sejajar adalah garis AB dengan CD dan garis AD dengan BC
• pasangan garis yang berpotongan  garis AB dengan AD, AC, AT, BC, BD, AT, dan BT garis CD dengan CB, CA, DA, DB, DT, dan CT garis AC dengan BD, dan MT garis MT dengan AC, BD, AT, BT, CT, dan DT
• garis-garis yang horisontal garis AB, DC, AD, dan BC
• garis yang vertikal garis MT